Una matrice trasforma i vettori: li ruota, li allunga, li deforma. Alcuni vettori speciali però vengono solo allungati o accorciati, senza cambiare direzione: sono gli autovettori, e il fattore di allungamento è il loro autovalore.
La definizione
Un vettore v diverso da zero è un autovettore della matrice A con autovalore λ se A v = λ v.
Per
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
Il polinomio caratteristico
L’equazione A v = λ v ha soluzioni non nulle solo se la matrice A − λI ha determinante zero. Questo determinante è un polinomio in λ, il polinomio caratteristico; le sue radici sono gli autovalori.
Per
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 − λ | 1 |
| 1 | 2 − λ |
Gli autovettori
Per ogni autovalore si risolve il sistema (A − λI) v = 0. Con λ = 3 la matrice è
| −1 | 1 |
| 1 | −1 |
Diagonalizzare
Se ci sono abbastanza autovettori indipendenti (tanti quanta è la dimensione), la matrice si può scrivere come A = P D P−1: P ha per colonne gli autovettori e D è diagonale con gli autovalori, qui
| 1 | 0 |
| 0 | 3 |
Con la forma diagonale le potenze di A si calcolano subito: basta elevare gli autovalori. Per questo gli autovalori compaiono nei sistemi dinamici, nella meccanica quantistica, negli algoritmi di ricerca come quello di Google.
Attenzione
- Il vettore nullo non è mai un autovettore, anche se A · 0 = λ · 0 per ogni λ.
- Un autovalore può essere 0: vuol dire che la matrice ha determinante zero.
- Una matrice reale può avere autovalori complessi, come le rotazioni del piano, che non lasciano nessuna direzione ferma.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.