Il calcolo combinatorio serve a contare in quanti modi si possono scegliere o ordinare degli oggetti, senza doverli elencare tutti. È lo strumento che serve per calcolare le probabilità quando i casi sono tanti.
Il principio fondamentale
Se una scelta si può fare in 2 modi e, per ciascuno, una seconda scelta in 3 modi, le due scelte insieme si fanno in 2 · 3 = 6 modi. Con 2 magliette e 3 pantaloni ci si veste in 6 modi diversi.
Le permutazioni
Sono i modi di mettere in fila n oggetti tutti diversi. Il primo posto si sceglie fra n, il secondo fra quelli rimasti, e così via: si moltiplicano tutti i numeri da n fino a 1. Questo prodotto si chiama fattoriale e si scrive con il punto esclamativo: 4! si legge “4 fattoriale”.
Esempio4 · 3 · 2 · 1 = 244!: i modi di mettere in fila 4 persone
Le disposizioni
Sono i modi di scegliere k oggetti fra n contando l’ordine: oro, argento e bronzo fra 5 atleti. Si moltiplicano k numeri a partire da n scendendo di 1.
Se gli oggetti si possono ripetere, come le cifre di un PIN, ogni posto ha tutte le n possibilità: i modi sono nk.
Esempio5 · 4 = 20primo e secondo posto fra 5 atleti
Esempio104 = 10000i PIN di 4 cifre
Le combinazioni
Sono i modi di scegliere k oggetti fra n senza contare l’ordine: una coppia di rappresentanti fra 5 compagni. Si calcolano le disposizioni e si divide per k!, perché ogni gruppo era contato una volta per ogni ordine. Il risultato si chiama coefficiente binomiale.
Esempio5 · 42 · 1 = 10le coppie fra 5 compagni: Anna e Bruno è la stessa coppia di Bruno e Anna
Contare per calcolare probabilità
Lanciando due dadi i casi possibili sono 6 · 6 = 36. La somma 7 si ottiene in 6 modi: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1.
Esempio636 = 16la probabilità che la somma sia 7, la più probabile
Le combinazioni di 5 elementi a 2 a 2
- 5 · 42 · 1disposizioni di 5 a 2 a 2, diviso i modi di ordinare 2 oggetti
- 202i due prodotti
- 10le coppie possibili
Attenzione
- La domanda da farsi è sempre: l’ordine conta? Se sì sono disposizioni, se no combinazioni.
- Per definizione 0! vale 1: c’è un solo modo di mettere in fila zero oggetti.
- Con due dadi le somme non sono tutte ugualmente probabili: la somma 2 si ottiene in un solo modo, la somma 7 in sei.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.