Nessun numero reale al quadrato dà un numero negativo, quindi x2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali. Per risolverla si introduce un numero nuovo, l’unità immaginaria i, con la proprietà i2 = −1. I numeri che si ottengono si chiamano complessi.
Che cosa sono
Un numero complesso si scrive a + bi, con a e b numeri reali: a è la parte reale, b la parte immaginaria. I numeri reali sono i complessi con b = 0.
Ora x2 + 4 = 0 ha soluzioni: x = 2i e x = −2i, perché (2i)2 = 4i2 = −4.
Somma e prodotto
Si calcola come con i polinomi, trattando i come una lettera, e alla fine si sostituisce i2 con −1.
Esempio(2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i
Esempio(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i2con i2 = −1: 2 + i + 3 = 5 + i
Il coniugato e la divisione
Il coniugato di a + bi è a − bi. Il prodotto di un numero per il suo coniugato è sempre reale: (a + bi)(a − bi) = a2 + b2.
Per dividere si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, come nella razionalizzazione. Così 3 + 4i1 − 2i diventa (3 + 4i)(1 + 2i)5, cioè −1 + 2i.
Il piano di Gauss e il modulo
Un numero complesso si disegna come un punto: la parte reale sull’asse orizzontale, quella immaginaria sull’asse verticale. Il modulo è la distanza dall’origine, e si trova con il teorema di Pitagora.
Esempio32 + 42 = 25 = 5
La forma trigonometrica
Un numero complesso si può indicare anche con il modulo r e l’angolo che forma con l’asse reale, l’argomento. In questa forma le moltiplicazioni sono semplici: si moltiplicano i moduli e si sommano gli angoli.
Un prodotto
- (2 + 3i)(1 − i)l’esercizio
- 2 − 2i + 3i − 3i2ogni termine per ogni termine
- 2 + i + 3−3i2 = −3 · (−1) = 3
- 5 + iil risultato
Attenzione
- i2 è −1, non 1: è proprio questa la proprietà che definisce i.
- Il coniugato cambia solo il segno della parte immaginaria: il coniugato di −2 + 5i è −2 − 5i.
- Il modulo non è a + b: per 3 + 4i è 5, non 7.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.