Parabola, circonferenza, ellisse e iperbole si chiamano coniche, perché si ottengono tagliando un cono con un piano. Nel piano cartesiano hanno equazioni di secondo grado in x e y: dall’equazione si leggono il centro, il vertice, i fuochi.
Le quattro coniche
Tagliando il cono di traverso si ottiene un’ellisse (con il taglio orizzontale una circonferenza), con un taglio parallelo al fianco del cono una parabola, con un taglio più ripido un’iperbole, che ha due rami.
La parabola
L’equazione è y = ax2 + bx + c. Se a è positivo la parabola è rivolta verso l’alto, se è negativo verso il basso.
Il vertice è il punto più basso (o più alto): la sua ascissa è −b2a, l’ordinata si trova sostituendo. Per y = x2 − 4x + 3 il vertice è (2, −1), e la parabola taglia l’asse x dove x2 − 4x + 3 = 0, cioè in 1 e in 3.
Esempio−(−4)2 · 1 = 2l’ascissa del vertice
Esempio22 − 4 · 2 + 3 = −1l’ordinata del vertice
La circonferenza
È l’insieme dei punti che stanno alla distanza r da un centro. Con centro (a, b) l’equazione è (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Spesso è scritta sviluppata, come x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0. Il centro ha coordinate uguali a metà dei coefficienti di x e y, cambiati di segno: (2, −3). Il raggio è la radice di 22 + (−3)2 meno il termine noto.
Esempio22 + (−3)2 + 3 = 16 = 4il raggio
L’ellisse
È l’insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è sempre la stessa. Con centro nell’origine l’equazione è x2a2 + y2b2 = 1: a e b sono i semiassi. Per x225 + y29 = 1 i semiassi sono 5 e 3 e i fuochi stanno sull’asse x, alla distanza c dal centro.
Esempio25 − 9 = 16 = 4c = a2 − b2: i fuochi sono (−4, 0) e (4, 0)
L’iperbole
È l’insieme dei punti per cui la differenza delle distanze dai due fuochi è sempre la stessa. L’equazione è x2a2 − y2b2 = 1. I due rami si avvicinano sempre di più a due rette, gli asintoti, senza toccarle. Per x216 − y29 = 1 gli asintoti sono y = 34 · x e y = −34 · x.
Esempio16 + 9 = 5qui c = a2 + b2: fuochi (−5, 0) e (5, 0)
Il vertice di una parabola
- −(−4)2 · 1per y = x2 − 4x + 3: a = 1 e b = −4
- 42attenzione al doppio meno
- 2l’ascissa del vertice; sostituendo, y = −1
Attenzione
- Nella circonferenza il centro ha i segni cambiati: (x − 2)2 vuol dire ascissa 2.
- Nell’ellisse c = a2 − b2, nell’iperbole c = a2 + b2: è facile scambiarle.
- Non tutte le equazioni del tipo x2 + y2 + ax + by + c = 0 sono circonferenze: se sotto la radice del raggio viene un numero negativo, non c’è nessun punto.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.