La derivata di una funzione in un punto misura quanto velocemente la funzione cambia lì: è la pendenza della retta tangente al grafico. Se la funzione è la posizione di un’auto, la derivata è la sua velocità.
La pendenza della tangente
Fra due punti del grafico vicini si calcola la pendenza della retta che li unisce, il rapporto incrementale: quanto cambia y diviso quanto cambia x. Avvicinando sempre di più i due punti (con un limite) la retta diventa la tangente.
La derivata di f(x) si scrive f ′(x). Per y = x2 la derivata è 2x: nel punto x = 1 la tangente ha pendenza 2.
Le derivate da sapere
Non serve rifare ogni volta il limite: basta questa tabella e le regole qui sotto. La derivata di un numero (una costante) è zero, perché non cambia mai.
| funzione | derivata |
|---|---|
| xn | n · xn − 1 |
| x | 12x |
| ex | ex |
| ln(x) | 1x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
Somma e prodotto
La derivata di una somma è la somma delle derivate, e i numeri che moltiplicano restano: la derivata di x3 − 3x è 3x2 − 3.
Per un prodotto: derivata del primo per il secondo, più il primo per la derivata del secondo. La derivata di x2 · sin(x) è:
Esempio2x · sin(x) + x2 · cos(x)
Il quoziente
Derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso il denominatore al quadrato. Per x + 1x − 1: 1 · (x − 1) − (x + 1) · 1(x − 1)2, cioè:
Esempio−2(x − 1)2
La funzione composta
Quando dentro una funzione ce n’è un’altra, si deriva la funzione esterna lasciando com’è quella interna, poi si moltiplica per la derivata di quella interna (regola della catena).
Esempio2e2xderivata di e2x: l’interna 2x ha derivata 2
Esempio2xx2 + 1derivata di ln(x2 + 1): 1x2 + 1 per 2x
Che cosa ci dice
Dove la derivata è positiva la funzione cresce, dove è negativa decresce, dove è zero la tangente è orizzontale: lì ci possono essere un massimo o un minimo. È lo strumento principale dello studio di funzione.
La retta tangente
- y − 1 = 2(x − 1)tangente a y = x2 in (1, 1): la derivata 2x in 1 vale 2
- y = 2x − 2 + 1si toglie la parentesi
- y = 2x − 1l’equazione della tangente
Attenzione
- La derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate: per x2 · sin(x) non è 2x · cos(x).
- Nella funzione composta non dimenticare di moltiplicare per la derivata della funzione interna.
- Nella regola del quoziente l’ordine conta: prima la derivata del numeratore, poi quella del denominatore, con il meno in mezzo.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.