Una disequazione è come un’equazione, ma al posto dell’uguale c’è un segno di disuguaglianza: maggiore, minore, maggiore o uguale, minore o uguale. Le soluzioni di solito non sono un numero solo ma infiniti numeri, un intero tratto della retta.
Le soluzioni sono un intervallo
La disequazione x > 4 è vera per 5, per 4,1, per 100: per tutti i numeri più grandi di 4, ma non per 4. Sulla retta si disegna una semiretta che parte da 4 con un pallino vuoto (4 escluso). Con x ≥ 4 il pallino è pieno, perché anche 4 va bene.
Si risolve come un’equazione…
Si possono spostare i termini da un membro all’altro cambiando loro il segno, e si possono moltiplicare o dividere i due membri per lo stesso numero positivo: il verso della disequazione resta lo stesso.
Esempio2x − 3 > x + 12x − x > 1 + 3, quindi x > 4
…tranne che con i numeri negativi
Se si moltiplicano o si dividono i due membri per un numero negativo, il verso si capovolge: maggiore diventa minore e viceversa. Infatti 3 > 2, ma −3 < −2.
Esempio−2x + 4 > 0−2x > −4; si divide per −2 e il verso si gira: x < 2
Con le frazioni
Si moltiplica tutto per il mcm dei denominatori, che è positivo: il verso non cambia.
Esempiox2 − 1 < x3per 6: 3x − 6 < 2x, quindi x < 6
Casi particolari
Se le x si cancellano tutte resta una disuguaglianza fra numeri. Se è falsa, come 0x > 5, la disequazione non ha soluzioni; se è vera, come 0x > −3, ogni numero è soluzione.
Un esercizio completo
- 3(x − 1) ≤ 2x + 4la disequazione
- 3x − 3 ≤ 2x + 4si toglie la parentesi
- 3x − 2x ≤ 4 + 3le x a sinistra, i numeri a destra
- x ≤ 7le soluzioni: tutti i numeri fino a 7, 7 compreso
Attenzione
- Dividendo per un numero negativo il verso si capovolge: da −3x > 6 viene x < −2.
- Spostare un termine dall’altra parte non capovolge il verso: si cambia solo il segno del termine.
- Controlla con un numero: con x = 0 la disequazione −2x + 4 > 0 diventa 4 > 0, vera, e infatti 0 è minore di 2.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.