Una disequazione di secondo grado si risolve in due passi: si trovano le soluzioni dell’equazione associata, poi si guarda il segno della parabola. Lo stesso metodo dei segni serve per le disequazioni fratte, con la x al denominatore.
Il metodo della parabola
Si porta tutto a sinistra, con zero a destra. Si risolve l’equazione associata: per x2 − 4 < 0 è x2 − 4 = 0, che dà −2 e 2.
Se il coefficiente di x2 è positivo, la parabola è rivolta verso l’alto: il trinomio è negativo fra le due soluzioni e positivo fuori. Quindi x2 − 4 < 0 è vera per −2 < x < 2.
Esempiox2 − 5x + 6 > 0le soluzioni dell’equazione sono 2 e 3; si prendono i valori esterni: x < 2 oppure x > 3
Quando il discriminante non è positivo
Se Δ è negativo la parabola non tocca mai l’asse x: con il primo coefficiente positivo il trinomio è sempre positivo. x2 + 1 > 0 è vera per ogni x, x2 + 1 < 0 non lo è mai.
Se Δ è zero la parabola tocca l’asse in un punto solo: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 non è mai negativo, quindi x2 − 6x + 9 ≤ 0 è vera solo per x = 3.
Le disequazioni fratte
Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Si studia il segno di ciascuno separatamente e si mettono i risultati in una tabella dei segni.
Per x − 1x + 2 ≥ 0: il numeratore è positivo per x > 1, il denominatore per x > −2. Il denominatore non può essere zero, quindi −2 è sempre escluso; 1 invece va bene, perché lì la frazione vale zero.
Un esercizio
- x2 − 5x + 6 > 0la disequazione
- (x − 2)(x − 3) > 0l’equazione associata ha soluzioni 2 e 3
- x < 2parabola verso l’alto, segno maggiore: valori esterni, cioè x < 2 oppure x > 3
Attenzione
- Prima di studiare il segno il coefficiente di x2 deve essere positivo: se è negativo moltiplica tutto per −1 e capovolgi il verso.
- Nelle fratte non moltiplicare per il denominatore: non se ne conosce il segno. Si studia il segno di sopra e di sotto separatamente.
- Gli zeri del denominatore sono sempre esclusi, anche con il segno maggiore o uguale.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.