In un’equazione differenziale l’incognita non è un numero ma una funzione y(x), e nell’equazione compaiono le sue derivate. Sono il linguaggio della fisica e delle scienze: la velocità di raffreddamento, la crescita di una popolazione, il moto di una molla.
Che cosa vuol dire risolverla
L’equazione y′ = 2y chiede una funzione la cui derivata è il doppio della funzione stessa. Va bene y = e2x, ma anche 3e2x o −5e2x: le soluzioni sono infinite, y = c · e2x con c qualsiasi. Questo si chiama integrale generale.
Una condizione iniziale, come y(0) = 3, sceglie una sola curva della famiglia: qui c = 3. Equazione più condizione si chiama problema di Cauchy.
Variabili separabili
Se la derivata è il prodotto di una funzione di x per una funzione di y, si portano le y da una parte e le x dall’altra e si integra. Per y′ = 2y: dy/y = 2 dx, quindi ln|y| = 2x + costante, e y = c · e2x.
Lineari del primo ordine
Sono della forma y′ + p(x) y = q(x) e hanno una formula risolutiva: si trova una primitiva A di p, si moltiplica tutto per eA, e il primo membro diventa la derivata di y · eA.
Per y′ + y = x la soluzione è y = x − 1 + c · e−x.
Del secondo ordine a coefficienti costanti
Per y″ − 3y′ + 2y = 0 si cercano soluzioni del tipo etx: sostituendo si ottiene l’equazione caratteristica t2 − 3t + 2 = 0, con soluzioni 1 e 2.
L’integrale generale è y = a · ex + b · e2x, con due costanti, perché l’equazione è del secondo ordine. Se le soluzioni dell’equazione caratteristica coincidono si moltiplica una delle due per x; se sono complesse compaiono seno e coseno, cioè oscillazioni.
L’equazione caratteristica
- t2 − 3t + 2 = 0per y″ − 3y′ + 2y = 0: ogni derivata diventa una potenza di t
- (t − 1)(t − 2) = 0si scompone
- y = a · ex + b · e2xuna esponenziale per ogni soluzione, ciascuna con la sua costante
Attenzione
- La soluzione di un’equazione differenziale è una funzione, non un numero.
- Un’equazione del primo ordine ha una costante nell’integrale generale, una del secondo ordine ne ha due: servono altrettante condizioni.
- Verifica sostituendo: con y = 3e2x la derivata è 6e2x, proprio il doppio di y.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.