Un’equazione è di secondo grado quando l’incognita compare anche al quadrato. Si scrive sempre nella forma ax2 + bx + c = 0, con a diverso da zero. Può avere due soluzioni, una sola o nessuna.
Le equazioni incomplete
Se manca il termine con la x (equazione pura) si isola x2 e si fa la radice, ricordando che ci sono due numeri opposti: x2 − 4 = 0 dà x2 = 4, cioè x = 2 oppure x = −2.
Se manca il termine noto (equazione spuria) si raccoglie la x: x2 − 3x = 0 diventa x(x − 3) = 0. Un prodotto è zero solo se uno dei fattori è zero: x = 0 oppure x = 3.
Il discriminante
Per l’equazione completa si calcola prima il discriminante, che si indica con la lettera greca Δ (delta). Il suo segno dice quante soluzioni ci sono: se è positivo due, se è zero una sola (contata due volte), se è negativo nessuna, perché non si può fare la radice di un numero negativo.
La formula risolutiva
Le soluzioni si trovano con una formula che vale per tutte le equazioni di secondo grado: una con il più davanti alla radice di Δ, l’altra con il meno.
Esempio(−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1Δ di x2 − 5x + 6 = 0: è positivo, due soluzioni
Esempio5 + 12 = 3la prima soluzione
Esempio5 − 12 = 2la seconda soluzione
Somma e prodotto delle soluzioni
La somma delle due soluzioni è −ba e il loro prodotto è ca. Per x2 − 5x + 6 = 0: 2 + 3 = 5 e 2 · 3 = 6. Per questo si può anche scomporre: x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Che cosa si vede nel grafico
Il grafico di y = ax2 + bx + c è una parabola. Le soluzioni dell’equazione sono i punti in cui la parabola taglia l’asse x: due punti, un punto solo (la parabola tocca l’asse) o nessuno.
Con la formula
- 2x2 + 3x − 2 = 0qui a = 2, b = 3, c = −2
- 32 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25il discriminante è positivo: due soluzioni, e 25 = 5
- x = −3 + 54 = 12con il più
- x = −3 − 54 = −2con il meno
Attenzione
- Prima di usare la formula porta tutto a sinistra: a destra dell’uguale deve restare solo lo zero.
- Attenzione ai segni di b e c: in x2 − 5x + 6 = 0 è b = −5, quindi −b = 5 e b2 = 25.
- Nell’equazione pura non dimenticare la soluzione negativa: x2 = 9 dà x = 3 e x = −3.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.