Nell’esponenziale l’incognita sta all’esponente, come in 2x. Il logaritmo è l’operazione inversa: risponde alla domanda “a quale esponente devo elevare la base per ottenere questo numero?”. Servono per tutto ciò che cresce o cala in proporzione a sé stesso: interessi, popolazioni, decadimento radioattivo.
La funzione esponenziale
Con una base a positiva e diversa da 1, y = ax è definita per ogni x ed è sempre positiva. Con base maggiore di 1 cresce sempre più in fretta, con base fra 0 e 1 diminuisce.
Ogni esponenziale passa per (0, 1), perché a0 = 1. La base più usata in matematica è il numero e, circa 2,718.
Le equazioni esponenziali
Se si riesce a scrivere i due membri come potenze della stessa base, gli esponenti devono essere uguali.
Esempio2x + 1 = 88 = 23, quindi x + 1 = 3 e x = 2
Esempio3x = 8181 = 34, quindi x = 4
Il logaritmo
Il logaritmo in base 2 di 8 è 3, perché 23 = 8. In generale il logaritmo in base a di b è il numero c tale che ac = b; esiste solo se b è positivo.
Il logaritmo in base 10 si scrive log(100), quello in base e si chiama logaritmo naturale e si scrive ln.
Esempiolog2(8) = 3
Esempiolog(100) = 2perché 102 = 100
Esempioln(e2) = 2
Le proprietà dei logaritmi
Vengono dalle proprietà delle potenze. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, quello di un quoziente è la differenza, quello di una potenza è l’esponente per il logaritmo.
Esempiolog2(4 · 8) = log2(4) + log2(8) = 2 + 3 = 5
Esempiolog3(92) = 2 · log3(9) = 4
Le equazioni logaritmiche
Prima si scrivono le condizioni: gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi. Poi si usa la definizione: log2(x) = 3 vuol dire x = 23 = 8, che va bene perché è positivo.
Un’espressione con i logaritmi
- log2(8) + log3(9)l’espressione
- 3 + 223 = 8 e 32 = 9
- 5il risultato
Attenzione
- Il logaritmo di una somma non è la somma dei logaritmi: la proprietà vale per il prodotto.
- Non esiste il logaritmo di zero o di un numero negativo. Il logaritmo di 1 è sempre 0: log2(1) = 0.
- Un esponenziale con base positiva non è mai negativo né zero: 2x = −4 non ha soluzioni.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.