Una frazione algebrica ha un polinomio al numeratore e un polinomio con le lettere al denominatore, come x − 1x + 1. Si calcola come le frazioni numeriche: si semplifica, si porta allo stesso denominatore, si moltiplica. Lo strumento principale è la scomposizione.
Le condizioni di esistenza
Non si può dividere per zero, quindi le lettere non possono avere i valori che annullano il denominatore. Per x − 1x + 1 deve essere x ≠ −1. Le condizioni si scrivono all’inizio, prima di semplificare, perché semplificando un fattore potrebbe sparire.
Semplificare
Si scompongono numeratore e denominatore e si semplificano i fattori uguali, cioè i pezzi moltiplicati, mai gli addendi.
Esempiox2 − 1x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x − 1)(x + 1)2 = x − 1x + 1con x ≠ −1
Somma e differenza
Si scompongono i denominatori, si trova il denominatore comune (il mcm: tutti i fattori, con l’esponente più alto) e si sommano i numeratori.
Esempio1x − 1 + 1x + 1 = x + 1 + x − 1(x − 1)(x + 1) = 2xx2 − 1con x ≠ 1 e x ≠ −1
Prodotto e quoziente
Si scompone tutto e si semplifica in croce prima di moltiplicare. Nel quoziente si moltiplica per la frazione capovolta.
Esempiox2 − 4x + 2 · x + 1x − 2 = (x + 2)(x − 2)x + 2 · x + 1x − 2 = x + 1
Esempioxx + 1 : x2x2 − 1 = xx + 1 · x2 − 1x2 = x − 1x
Una semplificazione
- x2 − 1x2 + 2x + 1condizione: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 non deve fare 0, cioè x ≠ −1
- (x + 1)(x − 1)(x + 1)2differenza di quadrati sopra, quadrato di binomio sotto
- x − 1x + 1si semplifica un fattore x + 1
Attenzione
- Si semplificano solo i fattori: in x + 22 il 2 non si semplifica, perché sopra è un addendo.
- Le condizioni di esistenza restano anche dopo aver semplificato: x − 1x + 1 con x ≠ −1.
- Un fattore e il suo opposto si semplificano lasciando un meno: 1 − xx − 1 = −1.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.