Con tre o più incognite i metodi di sostituzione diventano lunghi. Il metodo di Gauss trasforma il sistema in uno equivalente “a scala”, che si risolve dal basso verso l’alto. Il teorema di Rouché-Capelli dice in anticipo se ci sono soluzioni e quante.
Il sistema come matrice
Il sistema x + y + z = 6, x − y + z = 2, 2x + y − z = 1 si scrive come una sola tabella, la matrice completa: i coefficienti delle incognite e, nell’ultima colonna, i termini noti.
| 1 | 1 | 1 | | 6 |
| 1 | −1 | 1 | | 2 |
| 2 | 1 | −1 | | 1 |
Le mosse di Gauss
Le soluzioni non cambiano se si scambiano due righe, se si moltiplica una riga per un numero diverso da zero, o se si somma a una riga un multiplo di un’altra.
Si usano per creare zeri sotto la diagonale. Con R2 → R2 − R1 e R3 → R3 − 2R1, poi R3 → 2R3 − R2, si arriva alla forma a scala:
| 1 | 1 | 1 | | 6 |
| 0 | −2 | 0 | | −4 |
| 0 | 0 | −6 | | −18 |
Risolvere dal basso
L’ultima riga dice −6z = −18, quindi z = 3. La seconda dice −2y = −4, quindi y = 2. La prima diventa x + 2 + 3 = 6, quindi x = 1.
Esempio1 + 2 + 3 = 6verifica nella prima equazione; e infatti 1 − 2 + 3 = 2 e 2 + 2 − 3 = 1
Il teorema di Rouché-Capelli
Si confrontano il rango della matrice dei coefficienti e il rango della matrice completa.
Se i ranghi sono diversi il sistema è impossibile: nella forma a scala compare una riga come 0 = 5.
Se sono uguali il sistema ha soluzioni: se il rango è uguale al numero delle incognite la soluzione è una sola; se è più piccolo le soluzioni sono infinite, e dipendono da tante incognite libere (parametri) quante sono le incognite meno il rango.
Esempiox + 2y = 3nel sistema con 2x + 4y = 6 la seconda equazione è il doppio della prima: rango 1 con 2 incognite, infinite soluzioni con un parametro
Attenzione
- Ogni mossa si applica a tutta la riga, termine noto compreso.
- Una riga di soli zeri (anche il termine noto) non è un problema: l’equazione era superflua. Una riga 0 = numero diverso da zero rende il sistema impossibile.
- Fai la verifica in tutte le equazioni di partenza, non in quelle trasformate.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.