La goniometria studia gli angoli attraverso tre funzioni, il seno, il coseno e la tangente. La trigonometria le usa per risolvere i triangoli: trovare lati e angoli che mancano.
Gradi e radianti
Gli angoli si misurano in gradi o in radianti. Un angolo giro è 360°, cioè 2π radianti; quindi 180° corrisponde a π, 90° a π2, 60° a π3, 45° a π4, 30° a π6. Per passare dai gradi ai radianti si moltiplica per π e si divide per 180.
Seno e coseno
Si disegna una circonferenza di raggio 1 con il centro nell’origine, la circonferenza goniometrica. Un angolo x, misurato dall’asse x in senso antiorario, individua un punto P sulla circonferenza.
Il coseno di x è l’ascissa di P, il seno è l’ordinata. Per questo sono sempre compresi fra −1 e 1. La tangente è il seno diviso il coseno.
I valori da ricordare
A 30° il seno vale 12 e il coseno 32; a 60° si scambiano; a 45° valgono entrambi 22. A 0° il seno è 0 e il coseno 1, a 90° il contrario.
Esempiosin(30°) = 12
Esempiosin(45°) = 22
Esempiotan(45°) = 1seno e coseno sono uguali
La relazione fondamentale
Il punto P sta sulla circonferenza di raggio 1, quindi per il teorema di Pitagora il quadrato del seno più il quadrato del coseno fa sempre 1. A 30°:
Esempio(12)2 + (32)2 = 14 + 34 = 1
Nel triangolo rettangolo
Un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, oppure per il coseno dell’angolo vicino. In un triangolo rettangolo con ipotenusa 10 e un angolo di 30°, il cateto opposto all’angolo è:
Esempio10 · sin(30°) = 10 · 12 = 5
Le equazioni goniometriche
sin(x) = 12 ha due soluzioni fra 0° e 360°: 30° e 150°, che hanno lo stesso seno. Dato che il giro si ripete, le soluzioni sono infinite: si aggiunge un numero qualsiasi di giri, x = 30° + k · 360° oppure x = 150° + k · 360°.
Un’espressione
- sin(30°) + cos(60°)l’espressione
- 12 + 12i valori da ricordare
- 1il risultato
Attenzione
- La calcolatrice deve essere impostata in gradi (DEG) o in radianti (RAD) a seconda di come è scritto l’angolo.
- sin(2x) non è 2 · sin(x): a 30° il primo vale sin(60°) = 32, il secondo 1.
- Seno e coseno non superano mai 1: un’equazione come sin(x) = 2 non ha soluzioni.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.