La statistica inferenziale usa un campione per dire qualcosa di tutta la popolazione: dai voti di 25 studenti alla media di tutta la scuola, da un sondaggio a un’elezione. Il risultato non è mai certo, ma si può dire quanto ci si può fidare.
La media del campione
La media di un campione cambia da campione a campione. Se la popolazione ha deviazione standard σ, la media di un campione di n elementi ha deviazione standard σ/√n, l’errore standard: più il campione è grande, più la media del campione è precisa.
Esempio1025 = 2con σ = 10 e un campione di 25
L’intervallo di confidenza
Per la normale il 95% dei valori sta entro 1,96 deviazioni standard dalla media. Quindi l’intervallo che va dalla media del campione meno 1,96 errori standard alla media più 1,96 errori standard contiene la vera media della popolazione nel 95% dei campioni.
Con media del campione 50, σ = 10 e n = 25 il margine è 3,92: l’intervallo di confidenza al 95% va da 46,08 a 53,92.
Esempio1,96 · 2 = 3,92il margine di errore
Il test d’ipotesi
Si parte da un’ipotesi nulla H0, per esempio “la media è 100”, e da un’ipotesi alternativa H1, “la media è diversa da 100”. Si suppone vera H0 e ci si chiede quanto sarebbe raro un risultato come quello osservato.
Si calcola la statistica z: la distanza fra la media del campione e 100, misurata in errori standard. Con media 104, σ = 15 e n = 36 l’errore standard è 1536 = 52, quindi z = 104 − 10052 = 85, cioè 1,6.
Al livello del 5% si rifiuta H0 se |z| supera 1,96. Qui 1,6 non lo supera: i dati non bastano per dire che la media non è 100.
Il p-value
Il p-value è la probabilità, se H0 fosse vera, di ottenere un risultato almeno così lontano. Qui è circa 0,11, cioè 11%: più grande del 5%, quindi non si rifiuta. Un p-value piccolo indica che i dati sono difficili da spiegare con H0.
Attenzione
- Non rifiutare H0 non vuol dire averla dimostrata: vuol dire solo che i dati non bastano per scartarla.
- Un intervallo al 95% non dice che la media ha il 95% di probabilità di starci dentro: dice che il metodo funziona nel 95% dei campioni.
- Se σ della popolazione non è nota e il campione è piccolo si usa la distribuzione t di Student al posto della normale.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.