L’integrale di una funzione di una variabile misura un’area; l’integrale doppio di una funzione di due variabili su una regione del piano misura un volume: quello sotto la superficie z = f(x, y). Con f = 1 dà semplicemente l’area della regione.
Integrali uno dentro l’altro
Si calcola con due integrali semplici, uno dentro l’altro (teorema di Fubini). Prima si integra rispetto a y, tenendo x fisso, poi si integra il risultato rispetto a x.
Sul rettangolo da 0 a 1 in x e da 0 a 2 in y: ∬ xy = ∫01 ( ∫02 xy dy ) dx. L’integrale interno dà 2x, quello esterno di 2x fra 0 e 1 dà 1.
Esempio12 − 02 = 1la primitiva di 2x è x2, calcolata fra 0 e 1
Domini normali
Se la regione non è un rettangolo, la si taglia a strisce verticali: per ogni x la y va da una curva in basso a una curva in alto. Così gli estremi dell’integrale interno dipendono da x.
Nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1) la x va da 0 a 1 e la y va da 0 fino alla retta y = 1 − x.
Esempio12 · (1 − 13) = 13∬ (x + y) sul triangolo: l’integrale interno dà 1 − x22
Le coordinate polari
Per cerchi, corone e settori conviene descrivere i punti con la distanza ρ dall’origine e l’angolo θ: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. L’elemento d’area dx dy diventa ρ dρ dθ: non dimenticare il fattore ρ.
L’area del cerchio di raggio 2 è l’integrale di ρ con ρ da 0 a 2 (che dà 2) moltiplicato per l’integrale di 1 con θ da 0 a 2π (che dà 2π): in tutto 4π, come la formula π · r2.
Sul rettangolo, passo passo
- 222 · xintegrale interno ∫02 xy dy: la primitiva in y è x · y22, fra 0 e 2
- 2xresta una funzione della sola x
- 1l’integrale esterno ∫01 2x dx: la primitiva x2 fra 0 e 1 vale 1
Attenzione
- Gli estremi dell’integrale esterno devono essere numeri; quelli dell’integrale interno possono dipendere dall’altra variabile.
- In coordinate polari si moltiplica la funzione per ρ.
- Sul rettangolo l’ordine di integrazione non conta; su un dominio normale cambiare ordine vuol dire riscrivere gli estremi.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.