L’integrale ha due facce. L’integrale indefinito è l’operazione inversa della derivata: trovare una funzione conoscendone la derivata. L’integrale definito misura l’area sotto un grafico. Il teorema fondamentale del calcolo dice che le due cose sono legate.
Le primitive
Una primitiva di una funzione è una funzione che ha quella come derivata. Una primitiva di 2x è x2, ma lo sono anche x2 + 1 e x2 − 7, perché la derivata di un numero è zero.
Per questo l’integrale indefinito si scrive con una costante qualsiasi c: ∫ 2x dx = x2 + c.
Gli integrali immediati
Si ottengono leggendo al contrario la tabella delle derivate. A ogni primitiva si aggiunge c. Come per le derivate, l’integrale di una somma è la somma degli integrali e i numeri che moltiplicano escono fuori.
| funzione | primitiva |
|---|---|
| xn | xn + 1n + 1 |
| 1x | ln(|x|) |
| ex | ex |
| sin(x) | −cos(x) |
| cos(x) | sin(x) |
Esempiox33 + c∫ x2 dx: l’esponente aumenta di 1 e si divide per il nuovo esponente
Per sostituzione
Se nella funzione compare una funzione interna moltiplicata per la sua derivata, si integra come se l’interna fosse una sola variabile: è la regola della catena al contrario. In ∫ 2x · cos(x2) dx la derivata di x2 è proprio 2x, quindi il risultato è sin(x2) + c.
Per parti
Serve per alcuni prodotti, come x · ex: si sceglie un fattore da derivare (x) e uno da integrare (ex). L’integrale diventa il prodotto della primitiva per l’altro fattore, meno un integrale più semplice: ∫ x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx, cioè (x − 1)ex + c.
L’integrale definito e l’area
L’integrale definito ∫02 x2 dx è l’area della regione fra il grafico, l’asse x e le rette x = 0 e x = 2.
Per il teorema fondamentale del calcolo si trova con una primitiva F: si calcola F nell’estremo di destra e si sottrae F nell’estremo di sinistra. Qui F(x) = x33.
Esempio233 − 033 = 83circa 2,67
Un integrale definito
- 233 − 033∫02 x2 dx: la primitiva x33 calcolata in 2, meno quella in 0
- 83 − 0le potenze
- 83l’area sotto la parabola
Attenzione
- Nell’integrale indefinito non dimenticare la costante c.
- La primitiva di xn non vale per n = −1: l’integrale di 1x è ln(|x|).
- Dove la funzione è negativa l’integrale definito conta l’area con il segno meno: per avere l’area vera si spezza l’intervallo e si prendono i valori assoluti.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.