Il limite descrive che cosa succede ai valori di una funzione quando x si avvicina sempre di più a un numero, o diventa sempre più grande. Serve proprio nei punti in cui la funzione non si può calcolare direttamente, ed è la base di derivate e integrali.
Avvicinarsi senza arrivare
La funzione x2 − 4x − 2 non si può calcolare in 2, perché il denominatore fa zero. Ma con x = 1,9 vale 3,9, con 1,99 vale 3,99, con 2,01 vale 4,01: più x si avvicina a 2, più il valore si avvicina a 4.
Si scrive limx→2 x2 − 4x − 2 = 4.
Quando basta sostituire
Se la funzione è continua nel punto, cioè il suo grafico non ha salti né buchi, il limite è semplicemente il valore della funzione: limx→3 x2 = 9. Polinomi, esponenziali, seno e coseno sono continui dove sono definiti.
La forma 0/0
Se sostituendo vengono zero sopra e zero sotto, il limite può valere qualsiasi cosa: si dice forma indeterminata. Spesso basta scomporre e semplificare il fattore che si annulla.
Esempiox2 − 4x − 2 = (x − 2)(x + 2)x − 2 = x + 2per x diverso da 2
Esempio2 + 2 = 4ora si può sostituire
I limiti all’infinito
Per x che diventa grandissimo, in una frazione di polinomi contano solo i termini di grado più alto. Se i gradi sono uguali il limite è il rapporto dei coefficienti: per 3x2 + 1x2 − 2 è 3.
Se il numeratore ha grado più alto il limite è infinito, se ha grado più basso il limite è 0.
I limiti notevoli
Alcune forme indeterminate tornano spesso e conviene ricordarne il valore. Tutti questi sono limiti per x che tende a 0; in più, limx→∞ (1 + 1x)x = e, circa 2,718.
| funzione | limite per x che tende a 0 |
|---|---|
| sin(x)x | 1 |
| ex − 1x | 1 |
| 1 − cos(x)x2 | 12 |
| ln(1 + x)x | 1 |
Gli asintoti
Se avvicinandosi a un punto la funzione diventa infinita, il grafico si avvicina a una retta verticale: un asintoto verticale. Se per x che tende all’infinito il limite è un numero, il grafico si avvicina a una retta orizzontale: un asintoto orizzontale. Per x + 1x − 1 sono le rette x = 1 e y = 1.
Una forma 0/0
- x2 − 4x − 2sostituendo 2 viene 0/0
- (x − 2)(x + 2)x − 2si scompone il numeratore
- x + 2si semplifica il fattore che si annulla
- 4ora si sostituisce 2: il limite è 4
Attenzione
- Il limite non è il valore della funzione nel punto: la funzione può non esistere lì, e il limite sì.
- 0/0 non vale 0 né 1: è una forma indeterminata, bisogna trasformare l’espressione.
- Un numero diviso un numero che tende a zero diventa infinito, con il segno che dipende da come ci si avvicina: da destra o da sinistra il risultato può cambiare.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.