Una matrice è una tabella di numeri disposti in righe e colonne. Serve per scrivere in modo compatto i sistemi lineari, le trasformazioni geometriche (rotazioni, simmetrie, ingrandimenti) e moltissimi calcoli dell’informatica e della fisica.
Righe, colonne e somma
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
Due matrici delle stesse dimensioni si sommano elemento per elemento, e si moltiplicano per un numero moltiplicando ogni elemento.
Il prodotto righe per colonne
L’elemento nella riga i e nella colonna j del prodotto si ottiene moltiplicando la riga i della prima matrice per la colonna j della seconda, termine a termine, e sommando. Si può fare solo se la prima matrice ha tante colonne quante righe ha la seconda.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 3 |
Il prodotto non è commutativo:
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 3 | 4 |
| 1 | 2 |
Il determinante
Il determinante è un numero associato a una matrice quadrata. Per una 2 × 2 è il prodotto della diagonale principale meno il prodotto dell’altra diagonale. Per una 3 × 3 si usa la regola di Sarrus o lo sviluppo lungo una riga.
Esempio1 · 4 − 2 · 3 = −2il determinante di 1 2 3 4
Che cosa dice il determinante
Se il determinante è zero le righe dipendono l’una dall’altra (una è combinazione delle altre): la matrice si dice singolare. Per esempio il determinante di
| 2 | 0 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
Geometricamente, il valore assoluto del determinante di una 2 × 2 è l’area del parallelogramma che ha per lati le due righe.
La matrice inversa
Una matrice quadrata con determinante diverso da zero ha un’inversa: moltiplicata per lei dà la matrice identità, che ha 1 sulla diagonale e 0 altrove.
Per una 2 × 2 si scambiano i due elementi della diagonale principale, si cambia segno agli altri due e si divide tutto per il determinante: l’inversa di
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| −2 | 1 |
| 3/2 | −1/2 |
Il rango
Il rango è il numero massimo di righe linearmente indipendenti. Si trova riducendo la matrice a scala con il metodo di Gauss e contando le righe non nulle:
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
Attenzione
- Nel prodotto conta l’ordine: in generale A · B è diversa da B · A.
- Il determinante esiste solo per le matrici quadrate.
- Una matrice con determinante 0 non ha inversa.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.