Un numero è primo se ha solo due divisori: 1 e sé stesso. Tutti gli altri numeri (tranne 1) si possono scrivere come prodotto di numeri primi, e da questi prodotti si trovano subito il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.
I numeri primi
7 è primo, perché si divide solo per 1 e per 7. 12 non è primo, perché si divide anche per 2, 3, 4 e 6.
Il numero 1 non è primo (ha un solo divisore) e 2 è l’unico primo pari.
La scomposizione in fattori primi
Si divide il numero per il primo più piccolo che lo divide (2, poi 3, poi 5…), si ripete con il quoziente e ci si ferma quando si arriva a 1. I divisori usati, a destra della riga, sono i fattori primi.
Esempio360 = 23 · 32 · 5tre volte 2, due volte 3, una volta 5
Trucco. Per sapere se un numero è primo basta provare a dividerlo per i primi il cui quadrato non lo supera: per 97 bastano 2, 3, 5 e 7, perché 112 = 121 è già più grande.
Il massimo comune divisore (MCD)
È il numero più grande che divide tutti i numeri dati.
Si scompongono i numeri e si moltiplicano solo i fattori comuni, ciascuno con l’esponente più piccolo. Per 12 e 18: 12 = 22 · 3 e 18 = 2 · 32; i fattori comuni sono 2 e 3, presi una volta sola.
Esempio2 · 3 = 6MCD(12, 18) = 6
Il minimo comune multiplo (mcm)
È il numero più piccolo (diverso da zero) che è multiplo di tutti i numeri dati. Si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, ciascuno con l’esponente più grande.
Esempio22 · 32 = 4 · 9 = 36mcm(12, 18) = 36
Trucco. Per due numeri il prodotto di MCD e mcm è uguale al prodotto dei numeri: 6 · 36 = 12 · 18 = 216.
A che cosa servono
Il MCD serve quando si divide in parti uguali, le più grandi possibili. Due nastri lunghi 12 cm e 18 cm si tagliano in pezzi uguali, senza avanzi, lunghi al massimo 6 cm.
Il mcm serve quando due cose si ripetono e si vuole sapere quando coincidono. Se un autobus passa ogni 12 minuti e un altro ogni 18, partendo insieme si ritrovano dopo 36 minuti. Il mcm dei denominatori serve anche per sommare le frazioni.
Attenzione
- Nel MCD si prendono solo i fattori comuni con l’esponente minore; nel mcm tutti i fattori con l’esponente maggiore. È facile scambiarli.
- Il MCD non è mai più grande del numero più piccolo, il mcm non è mai più piccolo del numero più grande: è un buon controllo.
- Se due numeri non hanno fattori comuni, come 8 e 15, si dicono primi tra loro: il MCD è 1 e il mcm è il loro prodotto, 8 · 15 = 120.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.