Il valore assoluto di un numero è il numero senza segno, cioè la sua distanza dallo zero: |−5| = 5 e |5| = 5. Nelle equazioni e disequazioni con il valore assoluto si ragiona sulle distanze. Le equazioni irrazionali hanno invece l’incognita sotto radice.
Il valore assoluto
Se il numero è positivo o zero il valore assoluto lo lascia com’è; se è negativo gli cambia segno. |a − b| è la distanza fra i numeri a e b sulla retta.
Esempio|2 − 5| = |−3| = 3fra 2 e 5 ci sono 3 passi
Equazioni con il valore assoluto
Se |A| = k, con k positivo, l’espressione A vale k oppure −k: si risolvono due equazioni.
Esempio|2x − 1| = 32x − 1 = 3 dà x = 2; 2x − 1 = −3 dà x = −1
Disequazioni con il valore assoluto
|A| < k vuol dire che A sta a meno di k dallo zero: −k < A < k.
|A| > k vuol dire che A sta lontano dallo zero più di k: A < −k oppure A > k.
Esempio−3 < x − 2 < 3da |x − 2| < 3; aggiungendo 2: −1 < x < 5
Esempio|x + 1| > 2x + 1 < −2 oppure x + 1 > 2, cioè x < −3 oppure x > 1
Equazioni irrazionali
Con una radice quadrata si isola la radice, si elevano al quadrato i due membri e si risolve. Elevando al quadrato però possono comparire soluzioni false: bisogna controllare che il secondo membro non sia negativo, perché una radice non lo è mai.
In x + 3 = x + 1 si eleva al quadrato: x + 3 = x2 + 2x + 1, cioè x2 + x − 2 = 0, che dà x = 1 e x = −2. Con x = −2 il secondo membro vale −1: va scartata.
Esempio1 + 3 = 1 + 1 = 2la verifica con x = 1: la soluzione è giusta
Un’equazione irrazionale
- 2x + 1 = 3il secondo membro è positivo: si può elevare al quadrato
- 2x + 1 = 9i due membri al quadrato
- 2x = 8si sposta il numero
- x = 4verifica: 2 · 4 + 1 = 9 = 3
Attenzione
- |a + b| non è sempre |a| + |b|: |3 + (−5)| = 2, mentre |3| + |−5| = 8.
- |A| = k con k negativo non ha soluzioni: una distanza non è mai negativa.
- Nelle equazioni irrazionali fai sempre la verifica: elevare al quadrato può aggiungere soluzioni che non vanno bene.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.