Multipli e divisori sono due modi di guardare la stessa cosa: se 12 = 4 · 3, allora 12 è un multiplo di 4 e 4 è un divisore di 12. I criteri di divisibilità servono a capire al volo se una divisione viene senza resto.
I multipli
I multipli di un numero si ottengono moltiplicandolo per 0, 1, 2, 3, … I multipli di 4 sono 0, 4, 8, 12, 16, 20, … e non finiscono mai.
Un numero è multiplo di un altro se si ottiene moltiplicando l’altro per un numero naturale.
Esempio12 = 4 · 312 è un multiplo di 4 (e anche di 3)
I divisori
Un numero è divisore di un altro se lo divide senza resto. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12: sono pochi, e il più grande è il numero stesso.
1 è divisore di tutti i numeri, e ogni numero è divisore di sé stesso.
Esempio12 : 4 = 3senza resto: 4 è un divisore di 12
Esempio12 = 5 · 2 + 2con resto 2: 5 non è un divisore di 12
I criteri di divisibilità
Per 2: l’ultima cifra è pari (0, 2, 4, 6, 8). Per 5: l’ultima cifra è 0 o 5. Per 10: l’ultima cifra è 0.
Per 3: la somma delle cifre è un multiplo di 3. Per 9: la somma delle cifre è un multiplo di 9.
Per 4: le ultime due cifre formano un multiplo di 4 (oppure sono 00).
Per 11: sommi le cifre di posto dispari e quelle di posto pari, partendo da destra; la differenza delle due somme è 0 o un multiplo di 11.
Esempio471 : 3 = 157le cifre: 4 + 7 + 1 = 12, multiplo di 3
Esempio738 : 9 = 82le cifre: 7 + 3 + 8 = 18, multiplo di 9
Esempio1316 : 4 = 329le ultime due cifre, 16, sono un multiplo di 4
Esempio2728 : 11 = 248posti dispari 8 + 7 = 15, posti pari 2 + 2 = 4, differenza 11
Trucco. Un numero divisibile per 9 è divisibile anche per 3; uno divisibile per 10 lo è anche per 2 e per 5.
Divisori comuni e multipli comuni
I divisori comuni di 12 e 18 sono 1, 2, 3 e 6: il più grande, 6, si chiama massimo comune divisore (MCD).
I multipli comuni di 4 e 6 sono 12, 24, 36, …: il più piccolo diverso da zero, 12, si chiama minimo comune multiplo (mcm).
Come si calcolano in fretta con i numeri primi lo vedi nella scheda “Numeri primi, MCD e mcm”.
I numeri primi
Un numero maggiore di 1 che ha come divisori solo 1 e sé stesso si chiama primo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Il 2 è l’unico primo pari. L’1 non è primo.
Attenzione
- Lo zero è multiplo di ogni numero (0 = 4 · 0), ma non è divisore di nessuno: non si divide per zero.
- Per il criterio del 3 conta la somma delle cifre, non l’ultima cifra: 13 finisce con 3 ma non è divisibile per 3.
- Multipli e divisori si scambiano i ruoli: “12 è multiplo di 4” e “4 è divisore di 12” dicono la stessa cosa.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.