Dividendo il numeratore di una frazione per il denominatore si ottiene un numero decimale. A volte la divisione finisce, altre volte un gruppo di cifre si ripete all’infinito: è un numero periodico. Ogni periodico si può riscrivere come frazione.
Decimali limitati e periodici
14 = 0,25: la divisione finisce, il numero è decimale limitato.
13 dà 0,333… con il 3 che si ripete sempre: il 3 è il periodo e si scrive con una lineetta sopra: 13 = 0,3. Nel risolutore lo scrivi fra parentesi, 0,(3).
In 16 = 0,16 prima del periodo c’è la cifra 1, che non si ripete: si chiama antiperiodo. Un periodico con antiperiodo si dice misto, senza si dice semplice.
Come capire prima di dividere
Si riduce la frazione ai minimi termini e si scompone il denominatore. Se contiene solo i fattori 2 e 5 il decimale è limitato; se contiene altri fattori è periodico.
320 = 0,15 è limitato, perché 20 = 22 · 5. 512 = 0,416 è periodico, perché 12 = 22 · 3 contiene il 3.
La frazione generatrice di un periodico semplice
Al numeratore: il numero scritto senza virgola e senza parentesi, meno la parte intera. Al denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Esempio0,3 = 39 = 13
Esempio2,45 = 245 − 299 = 24399 = 2711periodo di due cifre: 99
La frazione generatrice di un periodico misto
Al numeratore: il numero senza virgola e senza parentesi, meno il numero formato dalle cifre che vengono prima del periodo. Al denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempio0,16 = 16 − 190 = 1590 = 16
Esempio1,23 = 123 − 1290 = 11190 = 3730
Perché funziona
Chiamiamo x il numero 0,333…. Moltiplicando per 10 la virgola si sposta di un posto: 10x = 3,333…, con la stessa coda di 3.
Sottraendo, le code infinite si cancellano: 10x − x = 3, cioè 9x = 3 e x = 39. Il 9 al denominatore viene proprio da qui.
Un’espressione con un periodico
- 0,16 + 0,5 · 43l’esercizio
- 16 + 12 · 43si trasformano i decimali in frazioni: 0,5 = 510 = 12
- 16 + 23prima la moltiplicazione
- 16 + 46stesso denominatore
- 56il risultato
Attenzione
- Nei calcoli non si tronca il periodico: 0,33 non è 13. Si passa sempre alla frazione generatrice.
- Un periodo di 9 è un caso particolare: 0,9 = 99 = 1.
- Nel periodico misto si toglie tutto quello che sta prima del periodo, parte intera compresa: per 1,2(3) si toglie 12, non 2.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.