In un triangolo rettangolo i due lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato più lungo, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa. Il teorema di Pitagora lega le loro lunghezze: conoscendo due lati si trova sempre il terzo.
Il teorema
Il quadrato costruito sull’ipotenusa è grande quanto la somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Detti a e b i cateti e c l’ipotenusa:
Trovare l’ipotenusa
Si sommano i quadrati dei cateti e si fa la radice quadrata.
Esempio32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5cateti 3 cm e 4 cm: ipotenusa 5 cm
Trovare un cateto
Si sottrae dal quadrato dell’ipotenusa il quadrato del cateto che si conosce, poi si fa la radice.
Esempio132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12ipotenusa 13 cm e un cateto 5 cm: l’altro cateto è 12 cm
Le terne pitagoriche
Alcune terne di numeri interi verificano il teorema e conviene riconoscerle subito: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17. Anche i loro multipli funzionano: 6, 8, 10 è il doppio di 3, 4, 5.
Esempio52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
Dove si usa
Ogni volta che in una figura c’è un angolo retto nascosto. La diagonale di un rettangolo divide il rettangolo in due triangoli rettangoli: è l’ipotenusa, e i cateti sono base e altezza.
La diagonale di un quadrato di lato 5 è 52 + 52 = 50 = 52, circa 7,07: in ogni quadrato la diagonale è il lato per 2.
Esempio82 + 62 = 100 = 10diagonale del rettangolo di base 8 cm e altezza 6 cm
Un esercizio
- 62 + 82ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 6 e 8
- 36 + 64prima i quadrati
- 100poi la somma
- 10infine la radice: l’ipotenusa è 10
Attenzione
- L’ipotenusa non è la somma dei cateti: con cateti 3 e 4 è 5, non 7. La radice di una somma non è la somma delle radici.
- Il teorema vale solo nei triangoli rettangoli, e l’ipotenusa è sempre il lato più lungo, quello opposto all’angolo retto.
- Per trovare un cateto si sottrae, non si somma: 132 − 52 = 144.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.