Molte grandezze dipendono da più di un numero: la temperatura di una stanza dipende dalla posizione, il costo di una scatola da larghezza, lunghezza e altezza. Una funzione di due variabili f(x, y) si può immaginare come una superficie, un paesaggio con colline e valli.
Le curve di livello
Per disegnare una funzione di due variabili sul foglio si usano le curve di livello, come sulle carte geografiche: ogni curva unisce i punti in cui la funzione ha lo stesso valore. Per x2 + y2 sono cerchi con centro nell’origine.
Le derivate parziali
Si deriva rispetto a una variabile trattando l’altra come se fosse un numero fisso. Si scrivono con il simbolo ∂ (“d tonda”).
Per f(x, y) = x2y + 3y: derivando rispetto a x (con y fisso) si ottiene 2xy; derivando rispetto a y (con x fisso) si ottiene x2 + 3.
| rispetto a x | rispetto a y |
|---|---|
| 2xy | x2 + 3 |
Il gradiente
Il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali. Indica la direzione in cui la funzione cresce più rapidamente, ed è sempre perpendicolare alle curve di livello. Per x2 + y2 il gradiente è (2x, 2y): punta lontano dall’origine.
Massimi, minimi e punti di sella
Nei massimi e nei minimi il gradiente è zero: tutte le derivate parziali si annullano. Questi punti si chiamano punti critici.
Per capire di che tipo sono si usa la matrice delle derivate seconde (la matrice hessiana) e il suo determinante. Se è positivo il punto è un massimo o un minimo; se è negativo è un punto di sella, come il centro di una sella da cavallo, che sale in una direzione e scende nell’altra.
Un punto critico
- 2x − 2 = 0per f(x, y) = x2 + y2 − 2x: la derivata rispetto a x deve essere zero
- x = 1e la derivata rispetto a y, 2y, dà y = 0
- f = 1 + 0 − 2nel punto (1, 0) la funzione vale −1: è il minimo, il fondo di una conca
Attenzione
- Nella derivata parziale rispetto a x la y si comporta come un numero: la derivata di 3y rispetto a x è 0.
- Un punto con gradiente nullo non è sempre un massimo o un minimo: può essere un punto di sella.
- Il gradiente è un vettore, non un numero: ha tante componenti quante sono le variabili.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.