Un polinomio è una somma di monomi, come 3x2 + 2x − 1. Con i polinomi si fanno le stesse operazioni dei numeri, usando le regole dei monomi. Alcuni prodotti tornano così spesso che conviene impararli a memoria: sono i prodotti notevoli.
Grado e termini
Il grado di un polinomio è il grado più alto dei suoi monomi: 3x2 + 2x − 1 ha grado 2. Il monomio senza lettere, qui −1, si chiama termine noto. Di solito si scrive il polinomio ordinato, dal grado più alto al più basso.
Somma e differenza
Si tolgono le parentesi e si sommano i monomi simili. Un meno davanti a una parentesi cambia il segno di tutti i termini dentro.
Esempio(3x2 + 2x − 1) + (x2 − 5x + 4) = 4x2 − 3x + 3
Esempio(2x + 3) − (x − 1) = 2x + 3 − x + 1 = x + 4
Moltiplicazione
Si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo (proprietà distributiva), poi si sommano i termini simili. È come calcolare l’area di un rettangolo diviso in pezzi.
Esempio2x(3x − 4) = 6x2 − 8x
Esempio(x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
Il quadrato di un binomio
Quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo. Con il meno, il doppio prodotto è negativo.
Esempio(2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9(2x)2 = 4x2, doppio prodotto 2 · 2x · (−3) = −12x, (−3)2 = 9
Somma per differenza
La somma di due termini per la loro differenza dà la differenza dei quadrati: i due termini centrali si cancellano.
Esempio(x + 3)(x − 3) = x2 − 9
Trucco. Serve anche con i numeri: 21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 400 − 1 = 399.
Il cubo di un binomio
I coefficienti sono 1, 3, 3, 1: le potenze del primo termine scendono, quelle del secondo salgono.
Esempio(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Un’espressione con i prodotti notevoli
- (2x − 3)2 − (x + 1)(x − 1)l’esercizio
- 4x2 − 12x + 9 − (x2 − 1)quadrato di binomio e somma per differenza
- 4x2 − 12x + 9 − x2 + 1il meno davanti alla parentesi cambia i segni
- 3x2 − 12x + 10si sommano i termini simili
Attenzione
- (a + b)2 non è a2 + b2: manca il doppio prodotto. Con i numeri: (3 + 4)2 = 49, mentre 32 + 42 = 25.
- Davanti a un prodotto notevole preceduto dal meno, metti prima il risultato fra parentesi e poi cambia i segni.
- (a − b)2 e (b − a)2 danno lo stesso risultato, perché un quadrato non è mai negativo.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.