Nel piano cartesiano ogni retta (non verticale) ha un’equazione del tipo y = mx + q. Il numero m dice quanto è inclinata, il numero q dove taglia l’asse y. Con l’equazione si possono trovare rette parallele, perpendicolari, distanze e intersezioni.
Coefficiente angolare e ordinata all’origine
m si chiama coefficiente angolare o pendenza: è di quanto sale la retta quando ci si sposta di 1 verso destra. Se m è positivo la retta sale, se è negativo scende, se è zero è orizzontale.
q è l’ordinata all’origine: il punto in cui la retta taglia l’asse y è (0, q).
La retta per due punti
Il coefficiente angolare è la differenza delle ordinate divisa per la differenza delle ascisse. Poi si trova q sostituendo uno dei punti. Per i punti (1, 2) e (3, 6):
Esempio6 − 23 − 1 = 42 = 2il coefficiente angolare
Esempio2 − 2 · 1 = 0q = y − mx nel punto (1, 2): la retta è y = 2x
La forma implicita
Un’equazione come 3x + 4y − 1 = 0 è sempre una retta. Ricavando y si ottiene la forma y = mx + q: qui y = −34 · x + 14. Le rette verticali, come x = 2, si scrivono solo in questa forma, perché non hanno coefficiente angolare.
Parallele e perpendicolari
Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare: y = 3x − 1 e y = 3x + 5.
Sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari è −1: la perpendicolare a una retta con m = 2 ha m = −12.
Esempio2 · (−12) = −1
Distanza di un punto da una retta
Per un punto P e la retta ax + by + c = 0 si mettono le coordinate di P nel primo membro, si prende il valore assoluto e si divide per a2 + b2. Per il punto (1, 2) e la retta 3x + 4y − 1 = 0:
Esempio|3 · 1 + 4 · 2 − 1|32 + 42 = 105 = 2
L’intersezione di due rette
Il punto in cui due rette si incontrano si trova risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni. Se le rette sono parallele il sistema è impossibile.
Il coefficiente angolare, passo passo
- 6 − 23 − 1retta per (1, 2) e (3, 6): differenza delle y su differenza delle x
- 42le due differenze
- 2il coefficiente angolare; poi q = 2 − 2 · 1 = 0, quindi y = 2x
Attenzione
- Nel coefficiente angolare sopra vanno le y e sotto le x, sottratte nello stesso ordine.
- Due rette perpendicolari non hanno coefficienti opposti ma antireciproci: per m = 2 si prende −12, non −2.
- Una retta verticale non si può scrivere come y = mx + q.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.