Scomporre un polinomio vuol dire scriverlo come prodotto di polinomi più semplici, come si scompone 12 in 22 · 3. È il cammino inverso della moltiplicazione e serve per semplificare le frazioni algebriche e per risolvere le equazioni.
Raccoglimento a fattore comune
È il primo metodo da provare, sempre. Si cerca il fattore che compare in tutti i termini (il MCD dei coefficienti e le lettere comuni con l’esponente più piccolo) e lo si mette fuori dalla parentesi.
Esempio3x2 − 6x = 3x(x − 2)3x è in tutti e due i termini
Raccoglimento parziale
Se non c’è un fattore comune a tutti, si raccoglie a gruppi e poi si raccoglie la parentesi che si ripete.
Esempioax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Con i prodotti notevoli
Si leggono i prodotti notevoli al contrario. Una differenza di due quadrati è una somma per differenza; un trinomio con due quadrati e un doppio prodotto è il quadrato di un binomio.
Esempio4x2 − 9 = (2x + 3)(2x − 3)4x2 = (2x)2 e 9 = 32
Esempiox2 + 6x + 9 = (x + 3)2il doppio prodotto: 2 · x · 3 = 6x
Esempiox3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)differenza di cubi
Il trinomio somma e prodotto
Per un trinomio come x2 − 5x + 6 si cercano due numeri che sommati diano il coefficiente di x e moltiplicati diano il termine noto. Qui servono somma −5 e prodotto 6: sono −2 e −3.
Esempiox2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
La regola di Ruffini
Se mettendo un numero a al posto di x il polinomio vale zero, allora x − a è uno dei suoi fattori. Il numero si cerca fra i divisori del termine noto. Per x3 − 2x2 + x − 2 si prova 2: 8 − 8 + 2 − 2 = 0. Dividendo per x − 2 si trova l’altro fattore.
Esempiox3 − 2x2 + x − 2 = (x − 2)(x2 + 1)
Due metodi uno dopo l’altro
- 2x3 − 8xil polinomio
- 2x(x2 − 4)prima il raccoglimento: 2x è comune
- 2x(x + 2)(x − 2)poi la differenza di quadrati: x2 − 4 si scompone ancora
Attenzione
- Si continua finché ogni fattore non si può più scomporre: 2x(x2 − 4) non è finito.
- La somma di due quadrati, come x2 + 4, non si scompone.
- Il controllo è facile: rimoltiplica i fattori e devi ritrovare il polinomio di partenza.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.