Un sistema è un gruppo di equazioni che devono essere vere tutte insieme. Con due incognite, x e y, servono di solito due equazioni: la soluzione è la coppia di numeri che le rende vere entrambe.
Che cosa cerchiamo
Nel sistema formato da x + y = 5 e x − y = 1 cerchiamo due numeri che sommati fanno 5 e la cui differenza è 1: sono x = 3 e y = 2.
Ogni equazione di primo grado in x e y è una retta nel piano cartesiano: la soluzione del sistema è il punto in cui le due rette si incontrano.
Il metodo di sostituzione
Si ricava un’incognita da un’equazione e la si sostituisce nell’altra, che così ha una sola incognita. Dalla seconda equazione x = y + 1; nella prima diventa (y + 1) + y = 5, quindi 2y = 4 e y = 2. Infine x = 2 + 1 = 3.
Il metodo di riduzione
Si sommano (o si sottraggono) le due equazioni membro a membro in modo che un’incognita sparisca. Sommando x + y = 5 e x − y = 1 le y si cancellano: 2x = 6, quindi x = 3. Se serve, prima si moltiplica un’equazione per un numero adatto.
Il metodo di Cramer
Si calcolano tre numeri, i determinanti, con i coefficienti scritti in tabella. Per il sistema ax + by = c e dx + ey = f il determinante del sistema è a · e − b · d. Per gli altri due si sostituisce la colonna dei termini noti.
Nel nostro sistema: 1 · (−1) − 1 · 1 = −2; per la x: 5 · (−1) − 1 · 1 = −6; per la y: 1 · 1 − 5 · 1 = −4. Quindi x = −6−2 = 3 e y = −4−2 = 2.
Impossibile o indeterminato
Se le due rette sono parallele non si incontrano mai: il sistema è impossibile (per esempio x + y = 3 e x + y = 5). Se sono la stessa retta, ogni punto va bene: il sistema è indeterminato (per esempio x + y = 3 e 2x + 2y = 6, che è la prima equazione moltiplicata per 2). Con Cramer questo succede quando il determinante del sistema è 0.
Per sostituzione, passo passo
- x − y = 1si parte dall’equazione più comoda del sistema con 2x + 3y = 12
- x = y + 1si ricava la x
- 2(y + 1) + 3y = 12si sostituisce nella prima equazione
- 5y = 10si svolge: 2y + 2 + 3y = 12
- y = 2e quindi x = 2 + 1 = 3
Attenzione
- La soluzione è una coppia: bisogna trovare sia x sia y.
- Fai la verifica in tutte e due le equazioni: 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1.
- Quando sostituisci un’espressione, mettila fra parentesi: 2(y + 1), non 2y + 1.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.