Nello spazio servono tre coordinate, (x, y, z), e tre assi perpendicolari. I punti, le rette e i piani si descrivono con i vettori: frecce che hanno una direzione e una lunghezza.
Vettori, prodotto scalare e vettoriale
La distanza fra i punti (1, 2, 3) e (4, 6, 3) si trova con Pitagora in tre dimensioni: 32 + 42 + 02 = 5.
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti delle componenti: per (1, 2, 3) e (4, 5, 6) è 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. È zero esattamente quando i vettori sono perpendicolari.
Il prodotto vettoriale di due vettori è un terzo vettore perpendicolare a entrambi: per esempio quello di (1, 0, 0) e (0, 1, 0) è (0, 0, 1).
Il piano
Un piano ha equazione ax + by + cz + d = 0. Il vettore (a, b, c) è perpendicolare al piano: si chiama vettore normale.
Per tre punti A, B e C passa un piano: si calcola il prodotto vettoriale di AB e AC, che dà la normale, e si impone il passaggio per A. Per A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1) si ottiene x + y + z − 1 = 0.
La retta
Una retta si descrive con un punto e un vettore di direzione: le equazioni parametriche danno tutti i suoi punti al variare di un numero t.
Per A(1, 0, 2) e B(3, 1, 0) la direzione è AB = (2, 1, −2) e la retta è x = 1 + 2t, y = t, z = 2 − 2t. Con t = 0 si ottiene A, con t = 1 si ottiene B.
Distanze e posizioni
La distanza di un punto da un piano si calcola come quella di un punto da una retta nel piano: si sostituiscono le coordinate nel primo membro, si prende il valore assoluto e si divide per la lunghezza della normale.
Due piani sono paralleli se le normali sono parallele; una retta è parallela a un piano se la sua direzione è perpendicolare alla normale. Due rette nello spazio possono anche essere sghembe: non si incontrano e non sono parallele.
Esempio|2 · 1 + 2 − 2 · 3 + 1|22 + 12 + (−2)2 = 13distanza di P(1, 2, 3) dal piano 2x + y − 2z + 1 = 0
Attenzione
- Nello spazio un’equazione come x + y = 1 non è una retta ma un piano (verticale). Una retta richiede due equazioni o la forma parametrica.
- Il prodotto vettoriale non è commutativo: scambiando l’ordine il vettore cambia verso.
- Prodotto scalare zero vuol dire vettori perpendicolari, non vettori nulli.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.