La media dice intorno a quale valore stanno i dati; la varianza e la deviazione standard dicono quanto sono sparsi. Due classi con la stessa media possono essere molto diverse: in una tutti hanno 6, nell’altra metà ha 4 e metà 8.
La media e la tabella delle frequenze
Quando i dati si ripetono conviene contarli in una tabella: la frequenza è quante volte compare ogni valore. Per i dati 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:
| valore | frequenza |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1 |
| 9 | 1 |
Esempio2 · 1 + 4 · 3 + 5 · 2 + 7 + 98 = 408 = 5ogni valore per la sua frequenza, diviso il numero dei dati
Mediana e moda
La mediana è il valore centrale dei dati messi in ordine; con un numero pari di dati è la media dei due centrali, qui 4 + 52 = 4,5. La moda è il valore più frequente: qui 4. A differenza della media, la mediana non si lascia spostare da un dato molto grande o molto piccolo.
La varianza
Per ogni dato si calcola lo scarto dalla media, cioè la differenza, e lo si eleva al quadrato, così gli scarti negativi non cancellano quelli positivi. La varianza è la media di questi quadrati. Qui gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
Esempio9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 168 = 328 = 4
La deviazione standard
È la radice quadrata della varianza. Ha la stessa unità di misura dei dati, quindi si legge meglio: in media i dati distano dalla media circa una deviazione standard.
Esempio4 = 2
La distribuzione normale
Molte misure (altezze, errori, voti di un compito molto grande) si distribuiscono a campana intorno alla media: è la distribuzione normale o di Gauss. In questo caso circa il 68% dei dati sta entro una deviazione standard dalla media e circa il 95% entro due.
La varianza, passo passo
- (−3)2 + 3 · (−1)2 + 2 · 02 + 22 + 428gli scarti dalla media 5 (−3, −1, 0, 2, 4) al quadrato, ciascuno per la sua frequenza
- 9 + 3 + 0 + 4 + 168i quadrati
- 328la somma
- 4la varianza; la deviazione standard è 4 = 2
Attenzione
- Gli scarti dalla media, sommati senza elevarli al quadrato, danno sempre 0: per questo si usano i quadrati.
- La varianza ha come unità di misura il quadrato dell’unità dei dati (cm² se i dati sono in cm); la deviazione standard no.
- Nella statistica di un campione la varianza si divide spesso per il numero dei dati meno 1: controlla quale formula chiede l’esercizio.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.