Fare lo studio di una funzione vuol dire raccogliere, con un elenco fisso di passi, tutte le informazioni che servono per disegnarne il grafico: dove esiste, dove è positiva, dove cresce, dove ha massimi, minimi e asintoti.
I passi
1. Dominio: i valori di x per cui la funzione si può calcolare (niente denominatori nulli, radici pari di negativi, logaritmi di numeri non positivi).
2. Simmetrie: se f(−x) = f(x) il grafico è simmetrico rispetto all’asse y (funzione pari); se f(−x) = −f(x) è simmetrico rispetto all’origine (dispari).
3. Intersezioni con gli assi e segno: dove f(x) = 0 e dove è positiva o negativa.
4. Limiti e asintoti: agli estremi del dominio e nei punti esclusi.
5. Derivata prima: dove la funzione cresce o decresce, massimi e minimi.
6. Derivata seconda: concavità e punti di flesso. Infine si disegna.
Un esempio: y = x³ − 3x
Il dominio è tutto l’insieme dei numeri reali, perché è un polinomio. È dispari: cambiando x con −x cambia segno tutto.
Si annulla dove x(x2 − 3) = 0, cioè in 0, 3 e −3. All’infinito si comporta come x3: tende a più infinito a destra e a meno infinito a sinistra.
Crescenza, massimi e minimi
La derivata è 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1): è positiva fuori da −1 e 1, negativa in mezzo. Quindi la funzione cresce, poi decresce, poi cresce: in x = −1 c’è un massimo relativo, in x = 1 un minimo relativo.
Esempio(−1)3 − 3 · (−1) = 2il massimo è il punto (−1, 2)
Esempio13 − 3 · 1 = −2il minimo è il punto (1, −2)
Concavità e flessi
La derivata seconda è 6x. Dove è positiva il grafico è concavo verso l’alto (come una tazza), dove è negativa verso il basso. Cambia segno in 0: l’origine è un punto di flesso.
Con una funzione fratta
Per y = x + 1x − 1 il dominio esclude 1. Avvicinandosi a 1 la funzione diventa infinita: x = 1 è un asintoto verticale. All’infinito tende a 1: y = 1 è un asintoto orizzontale. La derivata −2(x − 1)2 è sempre negativa, quindi la funzione decresce in tutto il dominio e non ha massimi né minimi.
Attenzione
- Dove la derivata è zero non c’è sempre un massimo o un minimo: per y = x3 in 0 la tangente è orizzontale ma la funzione continua a crescere. Conta il cambio di segno della derivata.
- Massimo e minimo relativi non sono per forza il valore più grande e più piccolo di tutta la funzione: lo sono solo vicino a quel punto.
- Il grafico finale deve essere coerente con tutti i passi: se non lo è, uno dei calcoli è sbagliato.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.