Una successione è un elenco infinito di numeri, uno per ogni numero naturale: a0, a1, a2, … Una serie è la somma di tutti i termini di una successione. Sommare infiniti numeri può dare un risultato finito: è il paradosso di Achille e la tartaruga, risolto con i limiti.
Il limite di una successione
Si studia che cosa succede a an quando n diventa grandissimo. Con an = 2n + 1n + 3 i termini si avvicinano a 2: il limite si calcola come per le funzioni, guardando i termini di grado più alto.
Un limite importante: (1 + 1n)n tende al numero e, circa 2,718. Una successione che cresce sempre ma resta sotto un certo numero ha sempre un limite finito.
Che cos’è una serie
Si sommano i primi termini: la somma parziale Sn = a0 + a1 + … + an. Se le somme parziali hanno un limite finito, la serie converge e quel limite è la sua somma; se tendono all’infinito la serie diverge.
La serie geometrica
Ogni termine è il precedente moltiplicato per lo stesso numero q, la ragione. Converge solo se q è compreso fra −1 e 1, e allora la somma è il primo termine diviso (1 − q).
Esempio11 − 12 = 2la somma di 1 + 12 + 14 e così via
La condizione necessaria
Se una serie converge, i suoi termini devono tendere a zero. Non vale il contrario: la serie armonica 1 + 12 + 13 + 14… ha termini che tendono a zero ma diverge, anche se molto lentamente.
Più in generale la serie dei termini 1np converge se p è maggiore di 1 e diverge altrimenti. La serie dei 1n2 converge, e la sua somma è π26.
I criteri di convergenza
Confronto: se i termini sono positivi e più piccoli di quelli di una serie che converge, anche questa converge.
Rapporto: si calcola il limite di an+1 / an. Se è minore di 1 la serie converge, se è maggiore di 1 diverge, se è 1 il criterio non decide.
Una serie geometrica
- 11 − 23serie dei (23)n da n = 0: primo termine 1, ragione 23, minore di 1
- 113il denominatore
- 3la somma della serie
Attenzione
- Termini che tendono a zero non bastano: la serie armonica diverge.
- Nella serie geometrica controlla da quale n parte la somma: il primo termine cambia.
- Il criterio del rapporto con limite uguale a 1 non dice niente: serve un altro criterio.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.