Il polinomio di Taylor sostituisce una funzione complicata, come ex o sin(x), con un polinomio che le somiglia moltissimo vicino a un punto. I polinomi si calcolano con somme e prodotti: è così che le calcolatrici trovano i valori di seno, esponenziale e logaritmo.
L’idea
La retta tangente è il polinomio di grado 1 più vicino alla funzione in un punto: ha lo stesso valore e la stessa derivata. Il polinomio di grado 2 ha in più la stessa derivata seconda, quello di grado 3 la stessa derivata terza, e così via.
Più il grado (l’ordine) è alto, più il polinomio resta vicino alla funzione allontanandosi dal punto.
La formula
Il coefficiente del termine di grado k è la derivata k-esima della funzione nel punto, divisa per k!. Intorno a x = 0 (si dice anche polinomio di Mac Laurin) il polinomio di ordine 3 di ex è, visto che tutte le derivate di ex in 0 valgono 1:
Esempio1 + x + x22 + x362! = 2 e 3! = 6
Gli sviluppi da ricordare
Intorno a x = 0:
| funzione | polinomio di Taylor |
|---|---|
| ex | 1 + x + x22 + x36 |
| sin(x) | x − x36 + x5120 |
| cos(x) | 1 − x22 + x424 |
| ln(1 + x) | x − x22 + x33 |
| 11 − x | 1 + x + x2 + x3 |
Il resto e a che cosa serve
La differenza fra la funzione e il polinomio si chiama resto. Vicino al punto è molto più piccolo dell’ultima potenza usata: si scrive o(x3), “o piccolo di x3”.
Per questo gli sviluppi risolvono i limiti difficili: sin(x) − x si comporta come −x36 vicino a 0, quindi sin(x) − xx3 tende a −16.
Calcolare e con un polinomio
- 1 + 1 + 12 + 16il polinomio di ordine 3 di ex in x = 1
- 83circa 2,667: il valore vero di e è 2,718…; con più termini ci si avvicina sempre di più
Attenzione
- Il polinomio di Taylor approssima bene solo vicino al punto scelto: lontano può essere molto diverso dalla funzione.
- Non dimenticare di dividere per il fattoriale: il termine di grado 3 ha 3! = 6 al denominatore.
- Lo sviluppo di sin(x) ha solo potenze dispari, quello di cos(x) solo potenze pari.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.