Una variabile aleatoria è un numero che dipende dal caso: il risultato di un dado, il numero di teste in dieci lanci, l’altezza di una persona scelta a caso. La sua distribuzione dice con quale probabilità prende ogni valore.
Variabili discrete
Una variabile discreta prende valori isolati, ciascuno con la sua probabilità; le probabilità sommate fanno 1. Il numero di teste in tre lanci di una moneta prende i valori 0, 1, 2, 3 con probabilità 18, 38, 38, 18.
| valore | probabilità |
|---|---|
| 0 | 18 |
| 1 | 38 |
| 2 | 38 |
| 3 | 18 |
Valore atteso e varianza
Il valore atteso (o speranza matematica) è la media dei valori pesata con le loro probabilità: il risultato medio che si otterrebbe ripetendo l’esperimento moltissime volte.
La varianza misura quanto i valori si allontanano dal valore atteso: si calcola come media dei quadrati meno il quadrato della media.
Esempio0 · 18 + 1 · 38 + 2 · 38 + 3 · 18 = 32il valore atteso: in media 1,5 teste
Esempio3 − (32)2 = 34la varianza: la media dei quadrati è 0 + 38 + 128 + 98 = 3
La distribuzione binomiale
Si ripete n volte una prova che riesce con probabilità p, sempre nello stesso modo e senza che le prove si influenzino. La probabilità di avere esattamente k successi è il coefficiente binomiale “n su k” per pk per (1 − p)n − k.
Con 10 lanci di una moneta, la probabilità di esattamente 3 teste è 120 (i modi di scegliere quali lanci) per (12)10:
Esempio120 · (12)10 = 1201024 = 15128circa l’11,7%
Variabili continue e la normale
Una variabile continua, come un’altezza, può prendere tutti i valori di un intervallo. La probabilità di un valore esatto è zero: si calcola la probabilità di un intervallo, come area sotto una curva, la densità.
La più importante è la distribuzione normale, a campana, con media μ e deviazione standard σ. Per usare le tavole si standardizza: z = (x − μ)/σ. Con media 100 e σ = 15, il valore 115 dà z = 115 − 10015 = 1, e la probabilità di stare sotto è circa 84%.
Attenzione
- Le probabilità di una variabile discreta devono sommare a 1: è il primo controllo da fare.
- Nella binomiale le prove devono essere indipendenti e con la stessa probabilità: estrarre carte senza rimetterle nel mazzo non è una binomiale.
- Il valore atteso può essere un valore impossibile: in tre lanci non si ottengono mai 1,5 teste.
Allenati
Un esercizio nuovo ogni volta: scrivi la risposta e controlla se è giusta. Si parte dal livello Base; con tre risposte giuste di fila si passa a quello successivo. Il livello lo puoi anche scegliere tu.
Carico l’esercizio…
Prova tu
Tocca un esercizio: lo svolgo passo passo. Prima prova a farlo a mente con le proprietà, poi confronta.