Fotografa l’esercizio.
Ti spiego ogni passaggio.

Tocca per aprire la fotocamera

Carica una foto

Le spiegazioni

Le regole della matematica spiegate in modo semplice, con pochi esempi, dalle prime operazioni alla matematica avanzata. Non ricordi che cosa vuol dire un simbolo? Guarda l’elenco dei simboli e delle abbreviazioni.

1Contare e calcolare

2Numeri, frazioni e figure

3Algebra, funzioni e geometria analitica

4Matematica avanzata

Espressione

Elenco dei simboli e delle abbreviazioni (che cosa vogliono dire ^, mod, √, log…)

Per le frazioni scrivi 2/3, per le potenze 2^3 o 2^−3, per i periodici 0,1(6). Usa : per dividere e · o * per moltiplicare. Con le lettere: 3a^2b, 2x(3x − 1), (a + b)^2. Per scomporre in fattori scrivi “scomponi” prima del polinomio. Frazioni: (x^2 − 9)/(x + 3), anche a più piani: (1 + 1/x)/(1 − 1/x^2). Equazioni letterali (incognita x, le altre lettere sono parametri): x^2 − (a + 1)x + a = 0, di grado superiore x^3 − ax^2 − x + a = 0, con il valore assoluto |x − a| = 2x, irrazionali √(x^2 − a^2) = x − 2a. Equazioni: scrivi il segno =, come 3x − 5 = x + 7. Disequazioni: usa <, >, ≤ (oppure <=), ≥ (oppure >=). Radicali: √12, ∛54, √(9 + 16), con indice n scrivi √[4](16); anche 8^(2/3). Con le lettere: √(a^3 b^2), √(2a) · √(8a^3), 1/(√a − √b) (aggiungi “supponendo le lettere positive” per togliere i valori assoluti); radicali doppi: √(7 + 4√3). Valore assoluto: |x − 2|. Logaritmi: log_2 8, log 100 (base 10), ln x; esponenziali: 2^(x + 1). Goniometria: sin 30°, cos(π/3), tan x, sin^2 x (anche sen e tg). Limiti: lim x→2 (x^2 − 4)/(x − 2), lim x→+∞ …, lim x→1+ … (destro); forme 1^∞, 0⁰, ∞⁰ e ∞ − ∞: lim x→+∞ (1 + 3/x)^(2x), lim x→0+ x^x, lim x→+∞ (x − ln x), lim x→0 (1/x − 1/sin x). Derivate: derivata di x^2 sin x (oppure D(…)). Integrali: integrale di x e^x, ∫ x^2 dx; definiti: integrale da 0 a 1 di x^2; impropri: integrale da 1 a +∞ di 1/x^2, integrale da 0 a 1 di 1/√x; con le sostituzioni goniometriche: integrale di √(1 − x^2). Aree e volumi: area tra y = x^2 e y = x, area sottesa a y = sin x tra 0 e π, volume del solido generato dalla rotazione di y = √x attorno all’asse x tra x = 0 e x = 4 (anche attorno all’asse y). Retta tangente: retta tangente a y = x^2 − 3x nel punto di ascissa 1. Studio di funzione: studio di funzione y = (x^2 − 1)/(x − 2), y = x e^x, y = ln x / x, anche con la goniometria: y = sin x + cos x, y = x + sin x. Piano cartesiano: distanza tra A(1; 2) e B(4; 6), punto medio di …, retta per A(1; 2) e B(3; 6), retta per P(2; −1) con m = 3, retta per P(1; 2) parallela (o perpendicolare) a y = 3x − 1, intersezione tra y = 2x + 1 e x + y − 4 = 0, distanza di P(1; 2) dalla retta 3x + 4y − 5 = 0, triangolo di vertici A(0; 0), B(4; 0), C(1; 3). Coniche: parabola y = x^2 − 4x + 3, circonferenza x^2 + y^2 − 4x + 6y − 3 = 0, circonferenza di centro C(1; 2) e raggio 3, parabola passante per A, B, C, ellisse x^2/25 + y^2/9 = 1, iperbole x^2/16 − y^2/9 = 1, intersezione tra la retta y = x + 1 e la circonferenza x^2 + y^2 = 25. Fasci e luoghi: fascio di rette (k + 1)x + (k − 2)y + 3 = 0 (anche: trova la retta passante per Q(1; 3), parallela o perpendicolare a …), fascio di rette per P(1; 2), fascio di circonferenze x^2 + y^2 − 4 + k(x − y) = 0, rette tangenti alla circonferenza x^2 + y^2 = 25 passanti per P(7; 1) (anche parabola, ellisse, iperbole), luogo dei punti equidistanti da A(1; 2) e B(3; 4), luogo dei punti P tali che PA = 2PB, luogo dei punti equidistanti da F(0; 1) e dalla retta y = −1, luogo descritto da P(2t + 1; t^2 − 3) al variare di t. Formule parametriche: risolvi con le formule parametriche sin x + cos x = 1. Proprietà di una funzione: dominio di f(x) = ln(x − 1)/√(4 − x), studia il segno della funzione …, la funzione … è pari o dispari?, intersezioni con gli assi di …. Identità goniometriche: verifica l’identità (1 − cos^2 x)/sin x = sin x, dimostra che tan x + 1/tan x = 1/(sin x cos x). Numeri complessi: (3 + 2i)(1 − i), (2 + i)/(1 − 2i), i^7, |3 + 4i|, forma trigonometrica di 1 + i, radici cubiche di 8, x^2 + 2x + 5 = 0 nei complessi, anche di grado superiore (z^4 = 16, z^4 + 5z^2 + 4 = 0, z^3 − z^2 + z − 1 = 0 nei complessi) e con coefficienti complessi (z^2 − (3 + i)z + 2 + 2i = 0); con il coniugato e il modulo: z + 2 z̄ = 3 − i (oppure conj(z)), z^2 = z̄, |z| + z = 2 + i, Re(z), Im(z). Aritmetica: scomponi in fattori primi 360, MCD e mcm di 12 e 18, divisori di 36, 97 è primo?; percentuali: il 15% di 240, sconto del 15% su 80, che percentuale è 30 di 120; proporzioni: 3 : 4 = x : 12; geometria: area del cerchio di raggio 4 (anche π · 4^2), triangolo rettangolo di cateti 3 e 4, perimetro del triangolo di lati 3, 4 e 5, volume del cilindro di raggio 2 e altezza 5, piramide quadrata di lato di base 6 e altezza 4, somma degli angoli interni di un esagono, angolo interno di un pentagono regolare, diagonali di un decagono; misure: 3,5 km in m, 1,2 m² in cm², 0,75 m³ in l, 90 min in h; divisione tra polinomi: dividi x^3 − 2x + 1 per x − 1. Combinatoria: 5!, 8!/(5! 3!), D(7, 3), D'(4, 3), C(10, 3), C'(5, 2), P(6), anagrammi della parola MAMMA. Probabilità: dadi, monete, carte, urne (con o senza reimmissione), schema di Bernoulli (3 successi su 5 prove con p = 1/6), P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 indipendenti. Bayes: P(A) = 0,6, P(B) = 0,4, P(D|A) = 0,03, P(D|B) = 0,05: calcola P(A|D) (anche P(T|non M)). Variabili aleatorie: variabile aleatoria X con valori 0, 1, 2, 3 e probabilità 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Distribuzioni: X ~ B(10; 0,3): P(X = 4), P(X ≤ 2); Poisson λ = 2: P(X ≥ 2); X normale con μ = 100 e σ = 15: P(X < 120), P(90 < X < 110), trova x con P(X < x) = 0,95. Statistica: media, mediana e moda di: 3, 5, 7, 7, 9 (anche con frequenze), varianza e scarto quadratico medio. Triangoli: triangolo a = 5, b = 7, γ = 60° (lati a, b, c; angoli α, β, γ oppure alfa, beta, gamma). Matrici (righe separate da ;): determinante di [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10], inversa di [2 1; 5 3], rango di [1 2 3; 2 4 6; 1 0 1], A = [1 2; 3 4], B = [0 1; 1 0]: calcola A·B, A + B, det(A), trasposta di A. Autovalori: autovalori e autovettori di [2 1; 1 2], diagonalizza [1 2; 2 1], la matrice [1 1; 0 1] è diagonalizzabile?; vettori: i vettori (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 0, 1) sono linearmente indipendenti?, base e dimensione del sottospazio generato da …, coordinate di (3, 5) rispetto alla base (1, 1), (1, −1), nucleo e immagine di [1 2 3; 2 4 6]. Sistemi con Gauss e Rouché-Capelli: risolvi con Gauss: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2 (anche con più incognite che equazioni), discuti al variare di k: kx + y = 1; x + ky = 1. Matematica discreta: algoritmo di Euclide per 252 e 198, identità di Bézout per 240 e 46, equazione diofantea 12x + 18y = 30 (anche soluzioni positive), 3^100 mod 7, resto della divisione di 2^50 per 13, ultima cifra di 7^2026, inverso di 7 modulo 26, φ(360), 3x ≡ 4 (mod 7), sistemi x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5) (teorema cinese del resto), converti 45 in base 2, (1011)_2 in base 10; ricorrenze: a_n = 3a_{n-1} − 2a_{n-2}, a_0 = 1, a_1 = 3 (anche con termine noto: a_n = 2a_{n-1} + 1, a_n = 3a_{n-1} + 2^n). Statistica (università): densità f(x) = k x^2 per 0 ≤ x ≤ 3: trova k, P(X > 1), E(X), Var(X), funzione di ripartizione, mediana (anche f(x) = 2e^(−2x) per x ≥ 0); X uniforme su [2, 6], X esponenziale con λ = 2; intervallo di confidenza al 95% per la media: x̄ = 50, σ = 5, n = 25 (con s si usa la t di Student; anche dati: 12, 15, 11, …, per la proporzione p̂ = 0,4, n = 100 e per la varianza); test: H0: μ = 100 contro H1: μ ≠ 100, x̄ = 104, s = 10, n = 25, α = 0,05 (anche sulla proporzione); test chi quadro sulla tabella [20 30; 30 20] o con osservate: … attese: …; regressione lineare: x: 1, 2, 3; y: 2, 4, 5. Geometria nello spazio (punti con tre coordinate, A(1; 2; 3)): distanza tra A(1; 2; 3) e B(4; 6; 3), punto medio, prodotto scalare e vettoriale di u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6), angolo tra i vettori …, area del triangolo e volume del tetraedro di vertici …; piano passante per A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), piano per P(1; 2; 3) perpendicolare al vettore (2, −1, 1) (anche parallelo a un piano, contenente una retta); retta per A e B, retta per P perpendicolare al piano …, rette scritte come x = 1 + t, y = 2t, z = 3 − t, come (x − 1)/2 = (y + 1)/3 = z o come {x + y − z = 1; 2x − y + z = 3}; distanza di P dal piano (o dalla retta), distanza tra piani paralleli e tra rette sghembe; posizione reciproca di piani, rette, retta e piano; angoli; proiezione e simmetrico di un punto; sfera x^2 + y^2 + z^2 − 2x + 4y − 6z + 5 = 0, sfera di centro C(1; 2; −1) e raggio 3, sfera e piano, piano tangente alla sfera nel punto …. Equazioni differenziali (scrivi y' e y''): y' = x y, y' = x/y, y' + y/x = x (lineare), y'' − 3y' + 2y = 0, y'' + 4y = sin x, y'' − 2y' + y = x e^x; problema di Cauchy: y' = 2xy, y(0) = 1 oppure y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2. Funzioni di più variabili: derivate parziali di f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 (anche seconde, matrice hessiana, gradiente nel punto (1; 2)), piano tangente a z = x^2 + y^2 nel punto (1; 1), derivata direzionale di f(x, y) = x^2 y in (1; 2) nella direzione (3, 4), punti stazionari di f(x, y) = x^3 + y^3 − 3xy (anche massimi e minimi di …). Integrali doppi: integrale doppio di x y su [0, 1] × [0, 2], su D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, x^2 ≤ y ≤ x}, sul triangolo di vertici (0; 0), (1; 0), (0; 1), su D: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, sulla regione delimitata da y = x^2 e y = x, sul cerchio x^2 + y^2 ≤ 4 (coordinate polari, anche con y ≥ 0 o corone 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4). Successioni e serie: successione a_n = (2n + 1)/(n + 3), progressione aritmetica a1 = 3, d = 4: a10 e somma dei primi 10 termini, progressione geometrica con a2 = 6 e a5 = 162; serie di 1/n^2, serie di 1/(n(n+1)), serie da n = 0 di (2/3)^n, serie di (−1)^n/n, serie di 2^n/n!, serie per n = 2 di 1/(n ln n) (geometrica, telescopica, confronto, rapporto, radice, Leibniz, integrale). Polinomio di Taylor: polinomio di Taylor di ordine 3 di e^x in x0 = 0, sviluppo di Maclaurin di sin x fino all’ordine 5, polinomio di Taylor di √x in x0 = 1 ordine 2 (anche arctan x, arcsin x). Sistemi: separa le equazioni (o le disequazioni) con il punto e virgola, come x + y = 5; x − y = 1; anche non lineari: x^2 + y^2 = 25; x − y = 1, x + y = 5; xy = 6, 2^x · 2^y = 8; x − y = 1, log x + log y = 1; x − y = 3.

Prova con